একটি বৃত্ত x=0, y=0, x=a এবং y=a সমীকরণগুলোকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ-

একটি বৃত্ত যখন চারটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে, তখন বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে সরলরেখাগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষেত্র এবং বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

এখানে প্রদত্ত সরলরেখাগুলো হলো:

    
• \(x=0\) (y-অক্ষ)
    
• \(y=0\) (x-অক্ষ)
    
• \(x=a\)
    
• \(y=a\)

এই চারটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ক্ষেত্রটি একটি বর্গক্ষেত্র, যার চারটি কোণা হলো \((0,0)\), \((a,0)\), \((0,a)\), এবং \((a,a)\)।

১. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য:

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হলো \(a-0 = a\) একক।

২. বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুকে স্পর্শ করে, তাই বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে অন্তর্লিখিত। এই ক্ষেত্রে বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

অতএব, বৃত্তের ব্যাস \(d = a\)।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}\)।

৩. বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়:

যদি একটি বৃত্ত একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুকে স্পর্শ করে, তাহলে বৃত্তটির কেন্দ্র বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রের উপর অবস্থিত হবে।

বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র \((h,k)\) = \(\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\)।

৪. বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়:

যে বৃত্তের কেন্দ্র \((h,k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\), তার সমীকরণ হলো \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)।

এখানে, \(h = \frac{a}{2}\), \(k = \frac{a}{2}\) এবং \(r = \frac{a}{2}\)।

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ হবে:

\(\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

\(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{a}{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{a}{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\)

\(x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - ay + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\)

সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে \(\frac{a^2}{4}\) বিয়োগ করে পাই:

\(x^2 + y^2 - ax - ay + \frac{a^2}{4} = 0\)

এই সমীকরণটিকে আরও সরলীকরণ করতে, উভয় পক্ষকে \(4\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(4(x^2 + y^2) - 4ax - 4ay + a^2 = 0\)

\(4(x^2 + y^2) - 4a(x+y) + a^2 = 0\)

এটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৪ নং অপশনের সাথে মিলে যায়।